LÍMITES Y CONTINUIDAD

MODULO 2. Límites y continuidad

Objetivo Particular del Periodo:

El alumno comprenderá la noción de límite y de continuidad de una función; las propiedades de los límites y los casos especiales de los límites. Aprenderá a calcular el límite de una función.
2.1 Definición de límite.
Como vimos en el capítulo anterior, el límite de una función es el valor L que parece tomar f(x) para cierto valor de la x llamado x0, sin embargo en el mundo de las matemáticas necesitaremos una definición formal que represente lo que acabamos de decir. para esto podemos hacer un primer intento y decir que:
Cuando una función f(x) toma valores muy próximos a L cada vez que tomamos una x suficientemente cerca de x0 se dice queel límite de la función f(x) es L cuando x tiende a x0, y se escribe:
\lim_{x\to x_0} \, \, f(x) = L

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta. Su definición se basa en dos parámetros, el primero es la δ (delta) que representa que tan cerca se encuentra x de x0, y el otro es ε (épsilon) que representa que tan cerca se encuentra f(x) de f(x0) o mejor dicho, ya que vimos en el capítulo anterior que f(x0) puede no existir,que tan cerca se encuentra de L:
"El límite de f(x) cuando x tiende a x0 es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δmayor que cero tal que si la distancia entre x y x0 es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor queε".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos matemáticos y de manera compacta:
\begin{array}{l} \underset {x\to x_0}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}

No hay comentarios.:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Comentarios (Atom)